Średnia arytmetyczna czy mediana
Średnia arytmetyczna czy mediana – którą miarę zastosować?
To pytanie często pada w przypadku chęci oszacowania wartości przeciętnej dla próbki pomiarów lub dla całej populacji. Odpowiedź brzmi: to zależy.
Zależy to w głównej mierze od stopnia asymetrii rozkładu danych. Podstawową miarą stosowaną do określenia tej właściwości jest współczynnik skośności (będący standaryzowanym trzecim momentem centralnym). Dla rozkładu idealnie symetrycznego, takiego jak rozkład normalny (Gaussa) czy rozkład t-Studenta (dla liczby stopni swobody większej niż 3), jego wartość wynosi dokładnie 0.
Wartość współczynnika skośności powyżej 0 świadczy o prawostronnej asymetrii (skośności dodatniej), natomiast wartość poniżej 0 wskazuje na asymetrię lewostronną (skośność ujemną). W praktyce analitycznej przyjmuje się regułę umowną: jeżeli wartość współczynnika skośności mieści się w przedziale od -0,5 do 0,5, można wstępnie założyć, że dane nie wykazują istotnej asymetrii. W takim przypadku wartość przeciętną szacuje się za pomocą średniej arytmetycznej. Jeżeli skośność wykracza poza ten zakres, zaleca się zastosowanie mediany.
Uwaga! W niniejszym artykule zakłada się, że badany rozkład jest jednomodalny.
Średnia czy mediana? Rozważmy to na przykładzie rozkładu płac w firmie X.
Na Rys. 1 przedstawiono zarobki 240 pracowników pewnej firmy X od stanowiska Operatora do Dyrektora Zakładu. Zarobki poddano analizie statystycznej z wykorzystaniem programu MS Excel i dodatku Analysis ToolPak.
Z wykorzystaniem formuł =ŚREDNIA() oraz =MEDIANA() wyznaczono miary położenia, które wyniosły odpowiednio:
- Średnia arytmetyczna: 7 434,60 zł
- Mediana: 6 394,40 zł
Za pomocą funkcji =SKOŚNOŚĆ() obliczono wartość współczynnika skośności, która wyniosła 2,23. Jest to wartość znacznie większa od 0, co jednoznacznie wskazuje na silną asymetrię prawostronną. W związku z tym bardziej miarodajną i uczciwą miarą wartości przeciętnej w tym badaniu jest mediana.
Dane przeanalizowano również graficznie za pomocą histogramu oraz wykresu skumulowanych wartości procentowych (dystrybuanty empirycznej). Szerokość przedziału klasowego (tzw. binu) ustalono na 1 000 zł. Przedziały klasowe w dodatku Analysis ToolPak są prawostronnie domknięte, co oznacza, że bin oznaczony jako „6 000 zł” obejmuje zarobki wyższe niż 5 000 zł i nieprzekraczające 6 000 zł. Na Rys. 2. znajdują się obliczenia do wykresów.
Rys. 3. Histogram. Znaczna asymetria prawostronna koresponduje z wysokim współczynnikiem skośności (2,23). Największa grupa pracowników – ponad 60% – skupiona jest w przedziałach dochodów od 5 000 do 7 000 zł. Nieliczna grupa wyższej kadry kierowniczej osiąga zarobki znacznie przekraczające 10 000 zł, co silnie zawyża średnią arytmetyczną.
Rys.4. Wykres skumulowany. Wykres wartości skumulowanych pokazuje, że granica 7 000 zł odpowiada około 60,8% populacji. Dokładna analiza dystrybuanty wskazuje, że poniżej średniej arytmetycznej (7434,60 zł) znajduje się aż 63,8% pracowników tej firmy.
Średnia czy mediana – podsumowanie
W przypadku analizowania danych o silnej asymetrii prawostronnej wyznaczanie wartości przeciętnej za pomocą średniej arytmetycznej zniekształca obraz rzeczywistości, ponieważ jest ona bardzo wrażliwa na wartości skrajne (odstające).
Podawanie w tym przypadku średniej arytmetycznej (7 434,60 zł) tworzy mylne wrażenie, że jest to zarobek „typowego” pracownika. W rzeczywistości niemal 64% załogi zarabia poniżej tej kwoty.
To mediana (6 394,40 zł) spełnia definicję wartości środkowej, dzielącej populację dokładnie na pół: dokładnie 50% pracowników zarabia poniżej 6 394,40 zł i 50% zarabia powyżej tej kwoty.
Dlatego w rozkładach dochodów to mediana znacznie lepiej oddaje realną sytuację finansową pracowników w firmie X.
Bardzo ważną czynnością obliczeniową rozpoczynającą jakąkolwiek analizę danych, jest zatem wstępna statystyka opisowa oraz właściwa identyfikacja rozkładu danych..
Autor: dr inż. Rafał Popiel
Jeżeli artykuł Ci się podobał, to udostępnij go w mediach społecznościowych:
Zaufali nam:
.
Co mówią nasi zadowoleni Klienci:
.