Krzywa dokręcania, pizza i całki. Matematyka w codzienności i inżynierii
Będąc studentem pierwszego roku studiów technicznych, na lekcjach matematyki wielokrotnie zastanawiałem się: po co mi ta cała matematyka? Do czego przyda mi się całkowanie i różniczkowanie w prawdziwym życiu? Prowadząc szkolenia, wciąż spotykam się z podobną opinią wśród inżynierów. W tym artykule pokażę, co zamawianie jedzenia ma wspólnego z inżynierią oraz jak odpowiednio zinterpretowana krzywa dokręcania pozwala na optymalizację kosztów i procesów.
Przedstawię dwa przypadki, w których matematyka – a zwłaszcza liczenie pola powierzchni (całkowanie) – staje się niezwykle przydatna z punktu widzenia zatrzymania pieniędzy w portfelu.
Pierwszy przypadek pochodzi z życia codziennego, a drugi z praktyki inżynierskiej.
Przypadek 1: Liczenie pola powierzchni w praktyce – zamawianie pizzy
Wiele osób lubi pizzę i regularnie korzysta z ofert lokalnych pizzerii. Składając zamówienie, często stajemy przed klasycznym dylematem optymalizacyjnym: co jest bardziej opłacalne – zakup dwóch średnich pizz, czy jednej dużej?
Wynik zależy oczywiście od rozmiaru (średnicy) i grubości ciasta. Na potrzeby naszej analizy załóżmy, że grubość ciasta w obu wariantach jest identyczna. Policzmy to na przykładzie popularnej w naszym kraju pizzy Capriciosa:
- Koszt jednej średniej pizzy o średnicy 30 cm to 37,95 zł. Zatem koszt dwóch średnich pizz wynosi 75,90 zł.
- Koszt jednej dużej pizzy o średnicy 46 cm to 55,95 zł.
Do obliczeń wykorzystamy dobrze znany ze szkoły wzór na pole koła:
.
- Powierzchnia 2 sztuk średnich pizz wynosi: 3,14 x (15)^2 x 2 =1413,0 [cm^2].
- Powierzchnia 1 sztuki dużej pizzy wynosi: 3,14 x (23)^2 = 1661,1 [cm^2].
Wniosek:
Zakładając tę samą grubość ciasta, zamawiając 1 dużą pizzę (46 cm), otrzymujemy o około 17,6% więcej jedzenia, płacąc przy tym mniej o 19,95 zł, w porównaniu do zamówienia dwóch pizz średnich.
Przypadek 2: Krzywa dokręcania łączników gwintowych w praktyce zawodowej
Zejdźmy na halę produkcyjną. Pole powierzchni pod krzywą dokręcania, wyrażające pracę operacyjną połączenia gwintowego, to niezwykle ważna miara wykorzystywana w projektach doskonalących procesy montażowe.
Aby ją wyznaczyć, na podstawie danych pomiarowych ze sterownika elektrycznej wkrętarki buduje się tzw. krzywą dokręcania. Wykres ten przedstawia zależność momentu dokręcania od kąta obrotu łącznika gwintowego.
W sytuacjach, w których występuje problem zniszczenia połączenia gwintowego podczas operacji dokręcania, przyczyn źródłowych często jest kilka. Dochodzi do złożonych interakcji pomiędzy wielkościami fizycznymi komponentów i parametrami procesu. Pole powierzchni pod krzywą dokręcania jest tu często traktowane jako zmienna objaśniana (Y), wykorzystywana w zaawansowanych statystycznych analizach związków przyczynowo-skutkowych.
Ze względu na występowanie zjawisk kontaktowych (np. zmienne tarcie) oraz samej specyfiki zniszczenia elementów złącznych, krzywa dokręcania ma charakter nieliniowy. W celu precyzyjnego wyznaczenia pola pod tą krzywą, najczęściej stosuje się metody numeryczne.
Jedną z najpopularniejszych jest metoda trapezów, która łączy prostotę implementacji z wysoką, wystarczającą inżyniersko dokładnością.
Jak działa metoda trapezów?
Opiera się ona na podzieleniu przedziału całkowania na części i poprowadzeniu prostych między kolejnymi parami punktów na osi danych. W ten sposób powstają figury – trapezy. Przybliżona wartość całki to po prostu suma pól wszystkich tych trapezów.
Wykorzystuje się do tego następujący wzór:
Wskazówka: W przypadku danych ze sterowników dokręcania zjawisko próbkowania często odbywa się ze stałym krokiem kąta obrotu (stałe dx). Wtedy powyższy wzór ulega znacznemu uproszczeniu, co ułatwia automatyzację obliczeń.
Podsumowanie: Gdzie w tym wszystkim jest całka?
Wracając do pytania z tytułu – co pizza ma wspólnego z całką pod krzywą dokręcania śruby?
Warto pamiętać, że szkolny wzór na pole koła, dzięki któremu zoptymalizowaliśmy nasze zamówienie w pizzerii, to matematycznie nic innego jak wynik klasycznego całkowania. Choć w codziennym życiu korzystamy z gotowych, wyprowadzonych już wzorów, w inżynierii przemysłowej zjawiska są często na tyle nieliniowe, że gotowego wzoru po prostu nie ma. Wtedy musimy sięgnąć do fundamentów i samodzielnie policzyć całkę (np. numerycznie).
Zarówno przy zamawianiu obiadu, jak i przy rozwiązywaniu złożonych problemów z jakością połączeń gwintowych, matematyka pozwala nam na chłodną analizę faktów, wyciągnięcie wniosków i – ostatecznie – na realne oszczędności.
👉 Przykład praktycznego wykorzystania tej zmiennej opisany został tutaj: Całkowanie numeryczne w procesie rozwiązywania problemów
Autor: dr inż. Rafał Popiel
Jeżeli artykuł Ci się podobał, to podziel się nim proszę w mediach społecznościowych:
Zaufali nam:
.
Co mówią nasi zadowoleni Klienci:
.
W przypadku pytań zapraszamy do kontaktu:
.