Całkowanie numeryczne w procesie rozwiązywania problemów

Całkowanie numeryczne w procesie rozwiązywania problemów

Całkowanie numeryczne w procesie rozwiązywania problemów. Sposób rozwiązywania problemu zrywania śrub podczas operacji dokręcania.

Przedstawione na Rys. 1. uszkodzone śruby, to śruby klasy wytrzymałościowej 10.9 dokręcane na moment o wartości 16 [Nm].

Na początkowym etapie rozwiązywania problemu zmienna Y wyrażona została w skali dychotomicznej:

śruba się urywa / śruba się nie urywa (podczas operacji dokręcania)

Zerwane śruby przedstawiono na Rys.1.

W dalszej części artykułu, po przedstawieniu zmiennych X (czynników) zaprezentowany zostanie sposób przekształcenia zmiennej Y, wyrażonej w skali dychotomicznej do zmiennej Y, wyrażonej w skali ilościowej.

całkowanie
Rys. 1. Śruby zerwane podczas operacji dokręcania.

Proces montażu – dokręcanie elementu silnika spalinowego

Zmienna X1:

Dokręcanie elementu odbywało się w warunkach podwyższonej temperatury – stanowisko montażu znajdowało się w miejscu bezpośredniego oddziaływania czynnika termicznego, który powodował, iż elementy połączenia gwintowego podczas dokręcania osiągały temperaturę około 60 – 65 stopni Celsjusza.

Zmienna X2:

Śruby powinny być dokręcane w kondycji suchej, tzn. na powierzchni oporowej oraz na gwincie nie powinna znajdować się żadna substancja oleista, mogąca przyczynić się do redukcji wartości współczynnika tarcia.

Jeden z elementów złącza gwintowego, do celów transportu morskiego pokrywany był konserwantem antykorozyjnym, który przenikał do otworów gwintowych powodując istotną redukcję współczynnika tarcia.

Redukcja współczynnika tarcia na gwincie powodowała wzrost naprężenia na rdzeniu śruby podczas operacji dokręcania i w konsekwencji mogła prowadzić do zniszczenia śruby.

Zaolejony otwór z gwintem przedstawiono na Rys.2. W celu uwidocznienia problemu użyto lampy z promieniami UV.

całkowanie
Rys. 2. Otwór gwintowy ze śladami substancji oleistej powodującej redukcję współczynnika tarcia podczas dokręcania.

Zmienna X3:

Promień dna gwintu śruby. W gwintach trójkątnych unika się pozostawiania ostrych krawędzi dna bruzdy gwintu, gdyż powodować to może spiętrzenie naprężeń w pobliżu takiego karbu.

Według wewnętrznego standardu firmy, promień wynoszący mniej niż 0,12 [mm] istotnie może wpływać na zmniejszenie wytrzymałości śruby.

Pomiary promienia dna gwintu śruby przedstawiono na Rys.3.

całkowanie
Rys.3. Pomiary promienia dna gwintu śruby.

W celu rozwiązania problemu wykonano eksperyment według algorytmu:

23*2=16

gdzie:

  • X3*2=16: X to liczba poziomów czynnika.
  • 2X*2=16: X to liczba analizowanych czynników.
  • 23*X=16: X to liczba powtórzeń dla każdej konfiguracji wynikającej z planu pełnego.
  • 23*2=X: X to liczba wykonanych eksperymentów, w tym przypadku to liczba dokręceń kolejnych 16 śrub.

Reasumując, zmienne objaśniające X w eksperymencie to:

X1:

Temperatura elementu z otworem gwintu wewnętrznego. Niska nastawa czynnika to temperatura elementu w zakresie około 22-25 stopni Celsjusza, natomiast wysoka nastawa czynnika to temperatura w zakresie 60-65 stopni Celsjusza.

X2:

Kondycja otworu z gwintem wewnętrznym. Niska nastawa czynnika to kondycja zaolejona, wysoka nastawa to kondycja sucha otworu z gwintem.

X3:

Promień dna gwintu. Niska nastawa to śruby, których promień wynosił mniej niż 0,12 [mm], natomiast wysoka nastawa czynnika to śruby, których promień wynosi więcej niż 0,12 [mm].

Zmienna objaśniana (odpowiedzi) Y.

Pierwotnie, zmienna Y określona została w skali dychotomicznej (śruba się urywa / śruba się nie urywa).

Jednak do celów eksperymentu, zmienna dychotomiczna jest niewystarczająca. W przypadku tak wyrażonej zmiennej Y, stosować można narzędzie regresji logistycznej, której odpowiedź jednak jest mniej dokładna niż stosowanie eksperymentu opartego na wieloczynnikowej analizie wariancji.

Dlatego dokonano transformacji zmiennej Y ze skali dychotomicznej do skali ilorazowej i wyrażono jako pole powierzchni pod krzywą dokręcania.

Krzywa taka budowana jest na podstawie relacji kąt dokręcenia → moment dokręcenia, wykorzystując zaawansowane, elektryczne narzędzia dokręcające.

Przykład krzywej dokręcania przedstawiono na Rys. 4.

całkowanie
Rys. 4. Przykład krzywej dokręcania w relacji kąt – moment dokręcania.

W praktyce, im wyższa jest wartość pola powierzchni pod krzywą, tym nośność połączenia gwintowego jest większa – połączenie gwintowe (w tym przypadku śruba) będzie w stanie przenosić wyższe obciążenie (wartość momentu dokręcania), co w konsekwencji oznacza wyeliminowanie zjawiska urywania się śrub podczas operacji dokręcania.

Pole powierzchni pod krzywą dokręcania policzono z wykorzystaniem całkowania numerycznego metodą trapezów.

Całkowanie metodą trapezów

jest jedną z metod całkowania numerycznego polegającą na podzieleniu przedziału całki na części i poprowadzeniu prostych między kolejnymi parami punktów na osi danych tak, iż tworzone są trapezy (Rys. 5.).

Przybliżona wartość całki jest sumą pól wszystkich otrzymanych w ten sposób trapezów. Poniższy wzór jest podstawą przybliżonego wyliczania całki w tej metodzie:

całkowanie
Rys.5. Krzywa dokręcania w relacji kąt vs moment z naniesionymi trapezami w zdefiniowanym zakresie całkowania.

Na Rys.6. przedstawiono losowy plan eksperymentu z obliczonymi wartościami zmiennej Y (polem powierzchni pod krzywą dokręcania):

Rys.6. Plan eksperymentu wraz z obliczonymi wartościami zmiennej Y (pole powierzchni pod krzywą dokręcania).

Całkowanie – wynik eksperymentu

Na poziomie istotności statystycznej (α0,15) temperatura elementu z otworem gwintu wewnętrznego (p-value 0,000) i kondycja (zaolejenie) gwintu (p-value 0,002) wywierały istotny wpływ na wartość pola powierzchni pod krzywą dokręcania.

Wynik analizy wariancji przedstawiono na Rys. 7, wykres Pareto, wpływów czynników głównych oraz interakcji pomiędzy nimi, przedstawiono na Rys. 8, 9, 10.

Rys.7. Wynik analizy wariancji na podstawie eksperymentu.
Rys. 8. Wykres Pareto przedstawiający wpływ czynników głównych i interakcji.
Rys.9. Przeciętny wpływ czynników na zmienną Y – pole powierzchni pod krzywą dokręcania.

Również interakcja pomiędzy czynnikami X1 i X2 wykazuje istotność statystyczną (p-value 0,127).

Wzięto pod uwagę fakt, iż w przypadku, gdy temperatura dokręcanych elementów będzie niższa i dodatkowo stan otworu gwintowego będzie w kondycji suchej, to może dochodzić do wzrostu wartości pola powierzchni pod krzywą dokręcania, czego następstwem będzie wzrost wytrzymałości złącza gwintowego i brak zjawiska urywania się śrub podczas dokręcenia.

Na Rys. 10. przedstawiono wykres interakcji dwóch czynników, z którego można odczytać, iż w przypadku dokręcania śruby w niżej temperaturze i w suchym stanie gwintu, wartości pola powierzchni pod krzywą dokręcania są najwyższe.

Rys. 10. Wykres interakcji dwóch czynników.

W wyniku eksperymentu podjęto następujące działania:

  1. Przeniesienie operacji dokręcania elementów konstrukcji do miejsca na linii produkcyjnej, w którym temperatura elementu z otworem gwintu wewnętrznego wynosić będzie około 20 – 25 stopni Celsjusza.
  2. Zobowiązano dostawcę elementu z otworem gwintowym do zabezpieczenia otworu przed konserwantem powodującym redukcję współczynnika tarcia.

Po wprowadzeniu powyższych dwóch zmian problem z urywaniem się śrub podczas operacji dokręcania został wyeliminowany.

Całkowanie – podsumowanie:

Zawsze, kiedy jest to możliwe, należy dokonywać transformacji zmiennej Y wyrażonej w skali dychotomicznej do skali ilościowej.

Wykorzystanie metod matematycznych (całkowanie numeryczne) wraz z metodami statystycznymi (wieloczynnikowa analiza wariancji w ramach eksperymentu DoE) ułatwia i w prostej drodze prowadzi do identyfikacji głównej przyczyny problemu.

Osoby, które odpowiadają i uczestniczą w procesie rozwiązywania problemów, powinny znać i wykorzystywać zaawansowane techniki rozwiązywania problemów, tj. zaplanowane eksperymenty.

Autor: dr inżRafał Popiel

Jeżeli artykuł Ci się podobał, to podziel się nim proszę w mediach społecznościowych:

Powiązane szkolenia:

Zaufali nam:

.

Co mówią nasi zadowoleni Klienci:

.

W przypadku pytań zapraszamy do kontaktu:

.


    Zapisz się do newsletter'a

    Podając adres e-mail wyrażam zgodę na otrzymywanie informacji zwrotnych.
    Więcej na temat naszej Polityki Prywatności