Wykorzystanie całki trapezowej w procesie rozwiązywania problemu

Wykorzystanie całki trapezowej w procesie rozwiązywania problemu

Celem niniejszego artykułu jest przedstawienie sposobu rozwiązywania problemu zrywania śrub podczas operacji dokręcania na określony moment dokręcania. Przedstawione na Rys. 1. uszkodzone śruby to śruby klasy wytrzymałościowej 10.9 dokręcane na moment 16 Nm.

Rys. 1. Śruby zerwane podczas operacji dokręcania.

Dokręcanie elementu odbywało się w warunkach podwyższonej temperatury – stanowisko montażu znajdowało się w miejscu bezpośredniego oddziaływania czynnika termicznego, który powodował, że temperatura połączenia gwintowego podczas dokręcania osiągała 60 – 65 stopni Celsjusza.

Dokręcanie śrub odbywało się bez problemów, do czasu zmiany dostawcy śrub. Nowe śruby charakteryzowały się inną powłoką antykorozyjną, odznaczającą się niższym współczynnikiem tarcia. Właściwości mechaniczne i geometryczne śrub nie uległy zmianie.

Po zmianie dostawcy śrub przeciętny NOK Rate wynosił ponad 30%, co oznaczało, że jedno na trzy dokręcenia kończyło się zerwaniem śruby.

Śruby powinny być dokręcane w kondycji suchej, tzn. na powierzchni oporowej oraz na gwincie nie powinna znajdować się żadna substancja oleista, mogąca redukować wartość współczynnika tarcia. Natomiast w czasie rozwiązywania problemu zauważono, że element połączenia z gwintem wewnętrznym znajduje się w stanie „zaolejenia”. Element ten do celów transportu pokrywany był konserwantem antykorozyjnym, który w skrajnych przypadkach dostawał się do otworu gwintowego i powodował istotną redukcję współczynnika tarcia. Redukcja współczynnika tarcia na gwincie powodowała wzrost naprężenia na rdzeń śruby podczas operacji dokręcania i w konsekwencji do jej zerwania. Zaolejony otwór z gwintem przedstawiono na Rys.2. W celu uwidocznienia problemu użyto lampy z promieniami UV.

Rys. 2. Otwór gwintowy ze śladami substancji oleistej powodującej redukcję współczynnika tarcia podczas dokręcania.

Trzecim czynnikiem, który poddany został analizie, był promień dna gwintu śruby. W gwintach trójkątnych unika się pozostawiania ostrych krawędzi dna bruzdy gwintu, gdyż powodowałoby to spiętrzenie naprężeń w pobliżu takiego karbu. Według wewnętrznego standardu firmy, promień wynoszący mniej niż 0,12 [mm] wpływać może na zmniejszenie wytrzymałości śruby. Pomiary promienia dna gwintu śruby przedstawiono na Rys.3.

Rys.3. Pomiary promienia dna gwintu śruby.

Po wskazaniu omówionych wyżej trzech czynników zaplanowano i przeprowadzono eksperyment wg algorytmu 23*2=16, gdzie:

  • X3*2=16: X to liczba poziomów czynnika.
  • 2X*2=16: X to liczba analizowanych czynników.
  • 23*X=16: X to liczba powtórzeń dla każdej konfiguracji wynikającej z planu pełnego.
  • 23*2=X: X to liczba wykonanych eksperymentów, w tym przypadku to liczba dokręceń kolejnych śrub.

Zmienne objaśniające X to:

  1. X1 – temperatura elementu z otworem gwintu wewnętrznego. Niska nastawa czynnika to temperatura elementu w zakresie 22-25 stopni Celsjusza, natomiast wysoka nastawa czynnika to temperatura w zakresie 60-65 stopni Celsjusza.
  2. X2 – kondycja otworu z gwintem wewnętrznym. Niska nastawa czynnika to kondycja zaolejona, wysoka nastawa to kondycja sucha otworu z gwintem.
  3. X3 – promień dna gwintu. Niska nastawa to śruby, których promień wynosił mniej niż 0,12 [mm], natomiast wysoka nastawa czynnika to śruby, których promień wynosi więcej niż 0,12 [mm].

Zmienna objaśniana (odpowiedzi) Y to:

Pole powierzchni pod krzywą dokręcania, którą wygenerować można z użyciem bardziej zaawansowanych elektrycznych narzędzi dokręcających. Krzywa taka budowana jest na podstawie relacji kąt dokręcenia → moment dokręcenia. Przykład krzywej dokręcania przedstawiono na Rys. 4.

Rys. 4. Przykład krzywej dokręcania w relacji kąt – moment dokręcania.

W praktyce im wyższa wartość pola powierzchni pod krzywą, tym nośność połączenia gwintowego jest większa – połączenie gwintowe (w tym przypadku śruba) będzie w stanie przenieść większe obciążenie, co oznacza brak zrywania śrub podczas dokręcania.

Pole powierzchni pod krzywą dokręcania policzono z wykorzystaniem całkowania numerycznego metodą trapezów.

Całkowanie metodą trapezów jest jedną z metod całkowania numerycznego polegającą na podzieleniu przedziału całki na części i poprowadzeniu prostych między kolejnymi parami punktów na osi danych tak, że tworzone są trapezy (Rys. 5.). Przybliżona wartość całki jest sumą pól wszystkich otrzymanych w ten sposób trapezów. Poniższy wzór jest podstawą przybliżonego wyliczania całki w metodzie trapezów:

Rys.5. Krzywa dokręcania w relacji kąt vs moment z naniesionymi trapezami w zdefiniowanym zakresie całkowania.

Na Rys.6. przedstawiono losowy plan eksperymentu z obliczonymi wartościami zmiennej Y (polem powierzchni pod krzywą dokręcania):

Rys.6. Plan eksperymentu wraz z obliczonymi wartościami zmiennej Y (polem powierzchni pod krzywą dokręcania).

W wyniku eksperymentu stwierdzono, że na poziomie istotności statystycznej (α0,05) temperatura elementu z otworem gwintu wewnętrznego (p-value 0,000) i kondycja (zaolejenie) gwintu (p-value 0,002) wywierały istotny wpływ na wartość pola powierzchni pod krzywą dokręcania. Wynik analizy wariancji przedstawiono na Rys. 7, natomiast wykres Pareto wpływów czynników i ich interakcji przedstawiono na Rys.8.

Rys.7. Wynik analizy wariancji na podstawie eksperymentu.
Rys. 8. Wykres Pareto przedstawiający wpływ czynników głównych i interakcji.
Rys.9. Przeciętny wpływ czynników na zmienną Y – pole powierzchni pod krzywą dokręcania.

Pomimo iż w wyniku analizy wariancji wartość p-value (0,13) dla interakcji czynników X1 i X2 była wyższa od α0,05, wzięto pod uwagę fakt, że w przypadku, gdy temperatura dokręcanych elementów będzie niższa i dodatkowo stan otworu gwintowego będzie suchy, to może dochodzić do wzrostu wartości pola powierzchni pod krzywą dokręcania, a co za tym idzie wzrostu nośności połączenia gwintowego. Na Rys. 10. przedstawiono wykres interakcji dwóch czynników, z którego można odczytać, że w przypadku dokręcania śruby w niżej temperaturze i w stanie gwintu suchym, wartości pola powierzchni pod krzywą dokręcania są najwyższe.

Rys. 10. Wykres interakcji dwóch czynników.

W wyniku eksperymentu podjęto następujące działania:

  1. Przeniesienie operacji dokręcania elementów konstrukcji do miejsca, w którym temperatura elementu z otworem gwintu wewnętrznego wynosić będzie około 20 – 25 stopni Celsjusza.
  2. Zobowiązano dostawcę elementu z otworem gwintowym do zabezpieczenia otworu przed konserwantem powodującym redukcję współczynnika tarcia.

Po wprowadzeniu powyższych dwóch zmian problem ze zrywaniem śrub podczas operacji dokręcania całkowicie zniknął.

Podsumowanie:

Wykorzystanie metod matematycznych (całkowanie numeryczne) wraz z metodami statystycznymi (wieloczynnikowa analiza wariancji w ramach eksperymentu DoE) ułatwia i w prostej drodze prowadzi do identyfikacji głównej przyczyny problemu. Osoby mające w swoim zakresie obowiązków nadzór nad procesem dokręcania łączników gwintowych powinny posiadać umiejętności opisane w tym artykule. Dysponując tą wiedzą, będą w stanie rozwiązać większość problemów związanych z dokręcaniem śrub i nakrętek.

Rozwiązywania problemów jakościowych, projektowania eksperymentów oraz liczenia całki numerycznej w programie MS Excel można nauczyć się na naszych szkoleniach:

Skuteczne rozwiązywanie problemów

Połączenia gwintowe – analiza i regulacja procesu dokręcania

DoE – projektowanie eksperymentów